Propiedad asociativa: ¿Qué es y cuándo se aplica?

Si tienes dudas sobre qué es la propiedad asociativa y cómo se aplica, entonces este artículo es para ti. Te explicaremos todo lo que debes saber para que puedas realizar tus operaciones asociativas de manera sencilla. ¡Será divertido!

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Propiedad asociativa ¿Qué es?

Habrás recordado cuando en primaria, se hablaba de propiedad conmutativa y asociativa; bien, en este caso, la propiedad asociativa, es una propiedad algebraica que se aplica solo para la suma y la multiplicación, y sin importar el orden en que se encuentren los elementos que se trabajen en ella, el resultado será el mismo. Destacando que el ordenamiento de los números no tiene que ver con el resultado final de la operación.

¿Cómo se realiza?

Las operaciones dentro de los paréntesis son las primeras que debemos realizar de ambos lados. Luego, cuando se ejecute cada una, eliminamos dichos paréntesis y, unimos las cantidades. De esta manera, vamos a obtener el resultado final.

Propiedad asociativa mediante suma

Si procedemos a sumar, podemos observar que el orden de los sumandos no afecta el producto que obtenemos. Por ejemplo:  (A+B)+C =A+(B+C).

En este caso, podemos demostrar la igualdad que expone la propiedad asociativa, de la siguiente manera:

a)  (2+5)+3=2+(5+3)               b) (10+15)+6=10+(15+6)                c) (50+35)+8=50+(35+8)

7 +3=2+8                                     25+6=10+21                                                85+8=50+43

10=10.                                                31=31.                                                              93=93

Es importante mencionar que el producto final siempre debe ser igual, sin importar el orden que tengan los sumandos.

Propiedad asociativa mediante multiplicación

El procedimiento es similar, solo que la operación que se aplica para hallar los resultados finales es diferente, ya que es vez de sumar, vamos a multiplicar los números con que trabajemos.

De igual manera, en este caso, vamos a demostrar la igualdad contenida en las cantidades:

a)  (3 x 2) x 6= 3 x (2 x 6)                      b)  (5 x 2) x 2= 5 x (2 x 2)                   c)  (9 x 3) x 5= 9 x (3 x 5)

6 x 6= 3 x 12                                               10 x 2= 5 x4                                            27 x 5= 9 x 15

36=36                                                         20= 20                                                        135=135

Como pudimos observar en los diferentes ejercicios, el orden de los factores no afectó el resultado final y logramos hallar la igualdad aplicada en la propiedad asociativa.

Resta y división

Muchas veces, surgen dudas acerca de si se pueden realizar actividades de propiedad asociativa mediante operaciones como la resta y la división. Debemos aclarar que, la sustracción y la división no son compatibles con la asociatividad, ya que no se cumple (por lo tanto en el resultado final no encontraremos igualdad).

Coloquemos como ejemplo de resta, los siguientes elementos:

(10 – 2) – 7 = 10 – (2 – 7)

8 – 7 =  10 – (-5)

1 = 15.

Y coloquemos este ejemplo de división:

13÷(4÷2) ≠ (13÷4)÷2

Podemos observar que no se cumple la propiedad asociativa, ni hallamos la igualdad entre ellos. Por lo tanto, podemos decir que, tanto en la resta como la división, no se encuentra relación con la propiedad que planteamos.

Puedes intentarlo con las cantidades que desees, pero no se hallará ninguna asociatividad.

Entendiendo la propiedad asociativa con suma

Vamos a colocar una operación de propiedad asociativa: ejemplos, que te sean sencillos de identificar y realizar mediante la suma de sus elementos:

a) En una canasta de frutas tenemos: 5 naranjas, 2 plátanos y 10 ciruelas.

Vamos a proceder a ordenarlas en una operación de propiedad asociativa. Colocamos primero las 5 naranjas, luego los 2 plátanos y, por último, las 10 ciruelas de la siguiente manera:

(5 + 2 ) + 10= 5 + (2 + 10).

Ahora vamos a proceder a sumar las cantidades que se encuentran dentro de los paréntesis, una vez que lo realicemos, estos paréntesis desaparecen:

7 + 10= 5 + 12.

Ya tenemos la operación final, ahora vamos a sumar todo:

17 + 17.

Y  ¡listo!, hemos encontrado la igualdad contenida en la propiedad asociativa. ¡Buen trabajo!.

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Entendiendo la propiedad asociativa con multiplicación

Vamos a colocar una operación de propiedad asociativa – ejemplos, que puedas realizar de manera sencilla:

b) A una escuela han llegado 2 camiones con 10 cajas cada uno, dentro de cada caja hay 8 balones. ¿Cómo podemos proceder a realizar una operación de propiedad asociativa con estos datos?

Primero vamos a ordenar los datos de la siguiente forma:

Escribiremos de primero el número 2 (por los camiones), entonces usaremos el número 10 (por las cajas que hay en cada camión), y por último, 8(por los  balones que hay dentro de estas cajas):

b)  ( 2 x 10) x 8= 2 x (10 x 8)

20 x 8= 2 x 80

160=160.

El resultado final es 160=160 como igualdad. Entonces, podemos afirmar lo siguiente: El colegio ha recibido 160 balones en total.

Es muy divertido poder realizar estas operaciones. ¡Buen trabajo!.

Coloquemos otro ejemplo:

c)  En un supermercado han llegado 1 camión, con 6 cajas, y cada caja contiene 12 paquetes de chocolate. ¿Cómo podemos saber cuantos chocolates hay en total?

Vamos a proceder de la siguiente manera:

Debemos ordenar los datos que tenemos. Primero el número 1 (por el camión), luego el número 6 (por la cantidad de cajas), y por último, colocamos el número 12 (que representa los chocolates que hay en cada caja). Lo escribiremos así:

c)  (1 x 6) x 12= 1 x ( 6 x 12)

6 x 12= 1 x 72

72=72.

Hemos encontrado el 72 como la igualdad contenida en esta operación de propiedad asociativa. ¡Muy bien!. Entonces podemos afirmar que el camión ha enviado al supermercado 72 chocolates, repartidos en 6 cajas. ¡Buen trabajo!

¿Para qué sirve la propiedad asociativa?

Las operaciones donde se aplica la propiedad asociativa nos permite simplificar el resultado que queremos obtener, evitando hacer procedimientos mucho más largos y tediosos.

Y lo mejor de todo, es que podemos ordenar los elementos que vamos a usar para efectuar la propiedad asociativa, de la manera que deseemos, porque alternándolos no nos va a afectar el producto final.

Inténtalo de las siguientes maneras:

d)  En la casa de Juana tenemos 2 cajas con 15 juguetes dentro de cada una. ¿Cómo podemos estructurar nuestra operación para realizar la propiedad asociativa?

Primero colocamos el número 1 (representando a Juana), luego el número 2 ( por las cajas que ella tiene), y por último, el número 15 (por los juguetes que hay dentro de cada caja).

Puedes comenzar a estructurar el ejercicio así: (1 x 2) x 15.

Y luego procedes a ordenarlo así: 1 x (2 x 15).

Cuando realices la operación, el resultado nos debe mostrar la asociatividad incluida en ellos. Mira:

(1 x 2) x 15= 1 x (2 x 15)

2 x 15= 1 x 30

30 = 30.

Hemos encontrado como igualdad el número 30. Por lo tanto, podemos afirmar lo siguiente: Juana tiene 30 juguetes en total, en sus dos cajas. ¡Buen trabajo!

Mediante este ejercicio aplicando la propiedad asociativa, hemos observado la facilidad con que podemos hallar el resultado final, sin procedimientos largos.

Intenta practicando con distintos ejercicios en casa, recuerda que la practica hará que podamos aprender rápido y las actividades se hacen divertidas.

Visita este enlace si deseas aprender de una manera sencilla las  Propiedades de la multiplicación asociativas, conmutativas y elementos.

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