Matriz transpuesta: definición, propiedades y ejercicios

Por lo tanto, dada una matriz A = (laij)m x n la transposición de A es At = (a ’ji) n x m.

 

i: posición en la línea
j: posición de la columna
unij: un elemento matricial en la posición ij
m: número de filas en la matriz
n: número de columnas en la matriz
Unt: matriz transpuesta de A

Tenga en cuenta que la matriz A es de orden m x n, mientras que su transposición At es de orden n x m.

Ejemplo

Encuentre la matriz transpuesta de la matriz B.

Como la matriz dada es del tipo 3×2 (3 filas y 2 columnas), su transposición será del tipo 2×3 (2 filas y 3 columnas).
Para construir la matriz transpuesta, debemos escribir todas las columnas de B como líneas de Bt. Como se indica en el siguiente diagrama:

Por lo tanto, la matriz transpuesta de B será:

vea también: Matrices

Propiedades de la matriz transpuesta

  • (At)t = A: esta propiedad indica que la transpuesta de una matriz transpuesta es la matriz original.
  • (A + B)t = At + Bt: la transposición de la suma de dos matrices es igual a la suma de la transposición de cada una de ellas.
  • (A. B)t = Bt . Unt: la transposición de la multiplicación de dos matrices es igual al producto de las transposiciones de cada una de ellas, en orden inverso.
  • det (M) = det (Mt): el determinante de la matriz transpuesta es el mismo que el determinante de la matriz original.

Matriz simétrica

Una matriz se llama simétrica cuando, para cualquier elemento de la matriz A, la igualdad aij = aji es verdad

Las matrices de este tipo son matrices cuadradas, es decir, el número de filas es igual al número de columnas.

Cada matriz simétrica satisface la siguiente relación:

A = At

Matriz opuesta

Es importante no confundir la matriz opuesta con la transpuesta. La matriz opuesta es aquella que contiene los mismos elementos en filas y columnas, sin embargo, con signos diferentes. Por lo tanto, lo opuesto a B es –B.

Matriz inversa

La matriz inversa (indicado por el número –1) es uno en el que el producto de dos matrices es igual a una matriz de identidad cuadrada (I) del mismo orden.

Ejemplo:

A. B = B. A = In (cuando la matriz B es inversa de la matriz A)

transpuesta

Ejercicios vestibulares con feedback

1. (Fei-SP) Dada la matriz A =, donde At su transposición, el determinante de la matriz A. Unt es:

a) 1
b) 7
c) 14
d) 49

2. (FGV-SP) A y B son sedes centrales y At es la matriz transpuesta de A. Si, entonces la matriz At . B será nulo para:

a) x + y = –3
b) x. y = 2
c) x / y = –4
d) x. y2 = –1
e) x / y = –8

3. (UFSM-RS) Sabiendo que la matriz

es igual a transpuesta, el valor de 2x + y es:

a) –23
b) –11
c) –1
d) 11
e) 23

 

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