Factorización polinómica: tipos, ejemplos y ejercicios.

Al escribir un polinomio como la multiplicación de otros polinomios, a menudo podemos simplificar la expresión.

 Factor común en la evidencia

Usamos este tipo de factorización cuando hay un factor que se repite en todos los términos del polinomio.

Este factor, que puede contener números y letras, se colocará delante de los paréntesis.

Dentro de los paréntesis será el resultado de dividir cada término del polinomio por el factor común.

En la práctica, haremos los siguientes pasos:

1º) Identifica si hay un número que divide todos los coeficientes del polinomio y las letras que se repiten en todos los términos.
2) Coloque los factores comunes (número y letras) delante de los paréntesis (en evidencia).
3º) Coloque entre paréntesis el resultado de dividir cada factor del polinomio por el factor que está en evidencia. En el caso de las letras, usamos la misma regla de división de poder.

Ejemplos

a) ¿Cuál es la forma factorizada del polinomio 12x + 6y – 9z?

Primero, identificamos que el número 3 divide todos los coeficientes y que no hay letra repetida.

Ponemos el número 3 delante de los paréntesis, dividimos todos los términos entre tres y el resultado lo colocaremos dentro de los paréntesis:

12x + 6y – 9z = 3 (4x + 2y – 3z)

b) Factor 2a2b + 3a3c – a4 4.

Como no hay un número que divida 2, 3 y 1 al mismo tiempo, no pondremos ningún número delante de los paréntesis.

La letra un se repite en todos los términos. El factor común será un2, que es el exponente más pequeño de un En la expresión.

Dividimos cada término polinómico por un2:

2a2 b: a2 = 2a2 – 2 b = 2b

3ro3c: a2 = 3a3 – 2 c = 3ac

un4 4 : a2 = a2

Ponemos el un2 delante de los paréntesis y los resultados de las divisiones entre paréntesis:

2a2b + 3a3c – a4 4 = a2 (2b + 3ac – a2)

Agrupación

En el polinomio que no existe un factor que se repite en todos los términos, podemos usar la factorización de agrupación.

Para eso, debemos identificar los términos que se pueden agrupar por factores comunes.

En este tipo de factorización, ponemos en evidencia los factores comunes de los grupos.

Ejemplo

Factoriza el polinomio mx + 3nx + my + 3ny

Los terminos mx y 3nx tiene como factor común la x. Los terminos mi y 3ny tener como factor común el y.

Poniendo estos factores en evidencia:

x (m + 3n) + y (m + 3n)

Tenga en cuenta que (m + 3n) ahora también se repite en ambos términos.

Poniéndolo nuevamente en evidencia, encontramos la forma factorizada del polinomio:

mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) (x + y)

Trinomio cuadrado perfecto

Los trinomios son polinomios con 3 términos.

Los trinomios cuadrados perfectos para2 + 2ab + b2 y el2 – 2ab + b2 resultado del notable producto de tipo (a + b)2 y (a – b)2.

Por lo tanto, la factorización del trinomio cuadrado perfecto será:

un2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (cuadrado de la suma de dos términos)

un2 – 2ab + b2 = (a – b)2 (cuadrado de la diferencia de dos términos)

Para saber si un trinomio es realmente un cuadrado perfecto, hacemos lo siguiente:

1º) Calcular la raíz cuadrada de los términos que aparecen en el cuadrado.
2) Multiplica los valores encontrados por 2.
3) Compare el valor encontrado con el término que no tiene cuadrados. Si son iguales, es un cuadrado perfecto.

Ejemplos

a) Factoriza el polinomio x2 + 6x + 9

Primero, tenemos que probar si el polinomio es un cuadrado perfecto.

√x2 = x y √9 = 3

Multiplicando por 2, encontramos: 2. 3) x = 6x

Como el valor encontrado es igual al término no cuadrado, el polinomio es un cuadrado perfecto.

Por lo tanto, la factorización será:

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

b) Factoriza el polinomio x2 – 8xy + 9y2

Prueba de trinomio cuadrado perfecto:

√x2 = x y √9y2 = 3y

Multiplicar: 2. x. 3y = 6xy

El valor encontrado no coincide con el término polinomial (8xy ≠ 6xy).

Como no es un trinomio cuadrado perfecto, no podemos usar este tipo de factorización.

Diferencia de dos cuadrados

Para factorizar polinomios de tipo a2 – b2 Usamos el notable producto de la suma para la diferencia.

Por lo tanto, la factorización de polinomios de este tipo será:

un2 – b2 = (a + b). (a – b)

Para factorizar, debemos calcular la raíz cuadrada de los dos términos.

Luego escribe el producto de la suma de los valores encontrados por la diferencia de esos valores.

Ejemplo

Factoriza el binomio 9x2 – 25.

Primero, encuentre la raíz cuadrada de los términos:

√9x2 = 3x y √25 = 5

Escriba estos valores como producto de la suma por la diferencia:

9x2 – 25 = (3x + 5). (3x – 5)

Cubo perfecto

Los polinomios a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 y el3 – 3er2b + 3ab2 – b3 resultado del notable producto de tipo (a + b)3 o (a – b)3.

Por lo tanto, la forma factorizada del cubo perfecto es:

un3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

un3 – 3er2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3

Para factorizar tales polinomios, debemos calcular la raíz cúbica de los términos en cubos.

Entonces, es necesario confirmar que el polinomio es un cubo perfecto.

Si es así, sumamos o restamos los valores de las raíces del cubo que se encuentran en el cubo.

Ejemplos

a) Factoriza el polinomio x3 + 6x2 + 12x + 8

Primero, calculemos la raíz cúbica de los términos en cubos:

3√ x3 = x e 3√ 8 = 2

Luego confirma que es un cubo perfecto:

3) x2 . 2 = 6x2

3) x. 22 = 12x

Dado que los términos encontrados son los mismos que los términos polinomiales, es un cubo perfecto.

Por lo tanto, la factorización será:

x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3

b) Factoriza el polinomio a3 – noveno2 + 27a – 27

Primero calculemos la raíz cúbica de los términos en cubos:

3√ a3 = a e 3√ – 27 = – 3

Dado que los términos encontrados son los mismos que los términos polinomiales, es un cubo perfecto.

Por lo tanto, la factorización será:

un3 – noveno2 + 27a – 27 = (a – 3)3

Ejercicios resueltos

Factoriza los siguientes polinomios:

a) 33x + 22y – 55z
b) 6nx – 6ny
c) 4x – 8c + mx – 2mc
d) 49 – a2
e) 9a2 + 12a + 4

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