Cálculo de la matriz inversa: propiedades y ejemplos

La matriz inversa o matriz invertible es un tipo de matriz cuadrada, es decir, tiene el mismo número de filas (m) y columnas (n).

Ocurre cuando el producto de dos matrices da como resultado un matriz de identidad del mismo orden (mismo número de filas y columnas).

Por lo tanto, para encontrar el inverso de una matriz, se usa la multiplicación.

A. B = B. A = In (cuando la matriz B es inversa de la matriz A)

Pero, ¿qué es la matriz de identidad?

La matriz de identidad se define cuando los elementos diagonales principales son todos iguales a 1 y los otros elementos son iguales a 0 (cero). Está indicado por In:

Propiedades de matriz inversa

  • Solo hay un inverso para cada matriz
  • No todas las matrices tienen una matriz inversa. Es invertible solo cuando los productos de las matrices cuadradas resultan en una matriz de identidad (In)
  • La matriz inversa de un inverso corresponde a la matriz misma: A = (A-1)-1
  • La matriz transpuesta de una matriz inversa también es inversa: (At) -1 = (A-1)t
  • La matriz inversa de una matriz transpuesta corresponde a la transposición de la inversa: (A-1 Unt) -1
  • La matriz inversa de una matriz de identidad es la misma que la matriz de identidad: I-1 = Yo

vea también: Matrices

Ejemplos de matriz inversa

Matriz inversa 2×2

Matriz inversa 3×3

Paso a paso: ¿cómo calcular la matriz inversa?

Sabemos que si el producto de dos matrices es igual a la matriz de identidad, esa matriz tiene un inverso.

Tenga en cuenta que si la matriz A es inversa a la matriz B, la notación: A-1.

Ejemplo: Encuentre el inverso de la matriz debajo del orden 3×3.

En primer lugar, debemos recordar eso. Un-1 = I (La matriz multiplicada por su inverso dará como resultado la matriz de identidad In)

Cada elemento de la primera fila de la primera matriz se multiplica por cada columna de la segunda matriz.

Por lo tanto, los elementos de la segunda fila de la primera matriz se multiplican por las columnas de la segunda.

Y finalmente, la tercera fila de la primera con las columnas de la segunda:

Por equivalencia de los elementos con la matriz de identidad, podemos descubrir los valores de:

a = 1
b = 0
c = 0

propiedades matriz inversa

Conociendo estos valores, podemos calcular las otras incógnitas en la matriz. En la tercera fila y la primera columna de la primera matriz tenemos un + 2d = 0. Entonces, comencemos por encontrar el valor de d, al reemplazar los valores encontrados:

1 + 2d = 0
2d = -1
d = -1/2

Del mismo modo, en la tercera fila y la segunda columna podemos encontrar el valor de y:

b + 2e = 0
0 + 2e = 0
2e = 0
e = 0/2
e = 0

Continuando, tenemos en la tercera fila de la tercera columna: c + 2f. Tenga en cuenta que, en segundo lugar, la matriz de identidad de esta ecuación no es igual a cero, sino igual a 1.

c + 2f = 1
0 + 2f = 1
2f = 1
f = ½

Pasando a la segunda fila y a la primera columna, encontraremos el valor de g:

a + 3d + g = 0
1 + 3. (-1/2) + g = 0
1 – 3/2 + g = 0
g = -1 + 3/2
g = ½

En la segunda fila y la segunda columna, podemos encontrar el valor de h:

b + 3e + h = 1
0 + 3. 0 + h = 1
h = 1

Finalmente, encontremos el valor de yo por la ecuación de la segunda fila y la tercera columna:

c + 3f + i = 0
0 + 3 (1/2) + i = 0
3/2 + i = 0
i = 3/2

 

Ejercicios vestibulares con feedback

1. (Cefet-MG) La matriz es inversa de
Se puede afirmar correctamente que la diferencia (x-y) es igual a:

a) -8
b) -2
c) 2
d) 6
e) 8

2. (U.F. Viçosa-MG) Las matrices son:

Donde x e y son números reales y M es la matriz inversa de A. Por lo tanto, el producto xy es:

a) 3/2
b) 2/3
c) 1/2
d) 3/4
e) 1/4

3. (PUC-MG) La matriz inversa de la matriz es igual a:

a)
b)
c)
d)
e)

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